Question

一個(gè)如圖所示的不規(guī)則形鐵片，其缺口邊界是口寬4分米，深2分米（頂點(diǎn)至兩端點(diǎn)A，B所在直線的距離）的拋物線形的一部分，現(xiàn)要將其缺口邊界裁剪為等腰梯形．
（1）若保持其缺口寬度不變，求裁剪后梯形缺口面積的最小值；
（2）若保持其缺口深度不變，求裁剪后梯形缺口面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意得：保持其缺口寬度不變，需在A，B點(diǎn)處分別作拋物線的切線．以拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，可得邊界曲線的方程，求出切線方程，可得梯形的面積．
（2）若保持其缺口深度不變，需使兩腰分別為拋物線的切線．梯形腰所在直線與拋物線切于P(x0，

1

2

x02)時(shí)面積最�。�

解答： 解：（1）以拋物線頂點(diǎn)為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-2，2），B（2，2），
從而邊界曲線的方程為y=

1

2

x2，x∈[-2，2]．
因?yàn)閽佄锞�在點(diǎn)B處的切線斜率k=y'|_x=2=2，
所以，切線方程為y=2x-2，與x軸的交點(diǎn)為（1，0）．
此時(shí)梯形的面積S=

1

2

×(2+4)×2=6平方分米，即為所求．
（2）設(shè)梯形腰所在直線與拋物線切于P(x0，

1

2

x02)時(shí)面積最�。�
此時(shí)，切線方程為y-

1

2

x02=x0(x-x0)，
其與直線y=2相交于(

x02+4

2x0

，2)，
與x軸相交于(

1

2

x0，0)．
此時(shí)，梯形的面積S=

1

2

(

x02+4

x0

+x0)×2=2x0+

4

x0

，x₀∈（0，2]．…（11分）
（這兒也可以用基本不等式，但是必須交代等號(hào)成立的條件）S′=2-

4

x02

=0，得x0=

2

，
當(dāng)x0∈(0，

2

]時(shí)，S=f（x₀）單調(diào)遞減；
當(dāng)x0∈(

2

，2]時(shí)，S=f（x₀）單調(diào)遞增，
故，當(dāng)x0=

2

時(shí)，面積有最小值為4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的應(yīng)用，考查梯形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．