Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+b}$（a＞0，b＞1），滿足：f（1）=1，且f（x）在R上有最大值$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
（I）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，不等式f（x）≤$\frac{3m}{（{x}^{2}+2）|x-m|}$恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)條件建立方程和不等式關(guān)系即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出f（x）的解析式，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

解答 解：（I）∵f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+b}$（a＞0，b＞1），滿足：f（1）=1，
∴f（1）=$\frac{a}{1+b}$=1，即a=1+b，①
f（x）=$\frac{a}{x+\frac{x}}$≤$\frac{a}{2\sqrt{x•\frac{x}}}$=$\frac{a}{2\sqrt}$，
∵f（x）在R上有最大值$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
∴$\frac{a}{2\sqrt}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．即2a=3$\sqrt{2b}$ ②，
由①②得a=3，b=2，
即f（x）的解析式f（x）=$\frac{3x}{{x}^{2}+2}$；
（Ⅱ）當(dāng)x=1時(shí)，不等式也成立，即1≤$\frac{3m}{3|1-m|}$=$\frac{m}{|m-1|}$，
即m≥|m-1|，平方得m²≥m²-2m+1，得m≥$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x=2時(shí)，不等式也成立，即1≤$\frac{3m}{6|6-m|}$，
即m≥2|2-m|，
平方得3m²-16m+16≤0，
即$\frac{4}{3}$≤m≤4，．
由f（x）≤$\frac{3m}{（{x}^{2}+2）|x-m|}$得$\frac{3x}{{x}^{2}+2}$≤$\frac{3m}{（{x}^{2}+2）|x-m|}$，
即x≤$\frac{m}{|x-m|}$，則|x-m|≤$\frac{m}{x}$，即-$\frac{m}{x}$≤x-m≤$\frac{m}{x}$，在x∈[1，2]上恒成立．
①當(dāng)x=1時(shí)，不等式成立，當(dāng)x≠1時(shí)，m≤$\frac{{x}^{2}}{x-1}$，則m≤4
②對于m≥$\frac{{x}^{2}}{x+1}$，x∈（1，2]上恒成立，等價(jià)為m≥（$\frac{{x}^{2}}{x+1}$）_max，
設(shè)t=x+1，則x=t-1，則t∈（2，3]，
則$\frac{{x}^{2}}{x+1}$=$\frac{（t-1）^{2}}{t}$=t+$\frac{1}{t}$-2，在（2，3]上遞增，
則（$\frac{{x}^{2}}{x+1}$）_max=$\frac{4}{3}$，
則m≥$\frac{4}{3}$．
綜上實(shí)數(shù)m的取值范圍是$\frac{4}{3}$≤m≤4．

點(diǎn)評 本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)條件建立方程關(guān)系求出函數(shù)的解析式，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．