Question

2．設(shè)F是拋物線G：x²=4y的焦點(diǎn)．
（1）過(guò)點(diǎn)P（0，-4）作拋物線G的切線，求切線方程；
（2）設(shè)A，B為拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足FA⊥FB，延長(zhǎng)AF，BF分別交拋物線G于點(diǎn)C，D，求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出切點(diǎn)Q，求得導(dǎo)數(shù)，切線的斜率，切線的方程，再由P滿足切線方程，可得切點(diǎn)，進(jìn)而得到切線的方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），求出AC的方程為y=kx+1，代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可得AC，同理可得BD，再由四邊形的面積公式，結(jié)合基本不等式可得最小值．

解答 解：（1）設(shè)切點(diǎn)$Q（{{x_0}，\frac{x_0^2}{4}}）$．
由$y'=\frac{x}{2}$，知拋物線在Q點(diǎn)處的切線斜率為$\frac{x_0}{2}$，
故所求切線方程為$y-\frac{x_0^2}{4}=\frac{x_0}{2}（x-{x_0}）$．
即y=$\frac{1}{2}$x₀x-$\frac{1}{4}$x₀²．
因?yàn)辄c(diǎn)P（0，-4）在切線上．
所以$-4=-\frac{x_0^2}{4}$，$x_0^2=16$，解得x₀=±4．
所求切線方程為y=±2x-4．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
由題意知，直線AC的斜率k存在，由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)k＞0．
因直線AC過(guò)焦點(diǎn)F（0，1），所以直線AC的方程為y=kx+1．
點(diǎn)A，C的坐標(biāo)滿足方程組$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，
得x²-4kx-4=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系知$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=4k\\{x_1}{x_2}=-4.\end{array}\right.$，
|AC|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=4（1+k²），
因?yàn)锳C⊥BD，所以BD的斜率為-$\frac{1}{k}$，從而B(niǎo)D的方程為y=-$\frac{1}{k}$x+1．
同理可求得|BD|=4（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$），
S_ABCD=$\frac{1}{2}$|AC|•|BD|=$\frac{8（1+{k}^{2}）^{2}}{{k}^{2}}$=8（2+k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$）≥32．
當(dāng)k=1時(shí)，等號(hào)成立．
所以，四邊形ABCD面積的最小值為32．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和運(yùn)用，考查直線和拋物線相切的條件，以及直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．