Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）+cosωxcosφ-sinωxsinφ（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）是偶函數(shù)，相鄰兩個零點(diǎn)間距離為1．（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知△ABC為銳角三角形，角A、B、C對邊分別為a、b、c，若f（$\frac{A}{π}$）=1，a=7，b=8，求c．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式為f（x）=2sin（ωx+φ+$\frac{π}{6}$），由題意可得φ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，結(jié)合范圍0＜φ＜$\frac{π}{2}$，解得φ的值，由題意可求周期，利用周期公式可解得ω，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由f（$\frac{A}{π}$）=2cosA=1，可得：cosA=$\frac{1}{2}$，由余弦定理整理可得c²-8c+15=0，從而解得c的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）+cosωxcosφ-sinωxsinφ
=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）
=2sin（ωx+φ+$\frac{π}{6}$），
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，可得φ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴解得：φ=$\frac{π}{3}$，
∵函數(shù)f（x）相鄰兩個零點(diǎn)間距離為1，可得周期T=2=$\frac{2π}{ω}$，解得ω=π，
∴f（x）=2sin（πx+$\frac{π}{2}$）=2cosπx，
∵由2kπ+π≤πx≤2kπ+2π，k∈Z，解得2k+1≤x≤2k+2，k∈Z．
∴f（x）=2cosπx的單調(diào)遞增區(qū)間為：[2k+1，2k+2]，（k∈Z）．
（2）∵f（$\frac{A}{π}$）=2cosA=1，可得：cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A為銳角，可得A=$\frac{π}{3}$，
∵a=7，b=8，
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，即：49=64+c²-2×$8×c×\frac{1}{2}$，整理可得：c²-8c+15=0，
∴解得：c=5，或3．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．