Question

5．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左右焦點，點A（1，$\frac{3}{2}$），則∠F₁AF₂的角平分線l所在直線的斜率為2．′．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出AF₂⊥x軸，從而|AF₂|=$\frac{3}{2}$，|AF₁|=$\frac{5}{2}$，點F₁（-1，0）關(guān)于l對稱的點${{F}_{1}}^{'}$在線段AF₂的延長線上，|F₁′F₂|=1，由此能求出∠F₁AF₂的角平分線l所在直線的斜率．

解答 解：∵A（1，$\frac{3}{2}$），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左右焦點
∴F₂（1，0），
∴AF₂⊥x軸，
∴|AF₂|=$\frac{3}{2}$，|AF₁|=$\frac{5}{2}$，
∴點F₁（-1，0）關(guān)于l對稱的點${{F}_{1}}^{'}$在線段AF₂的延長線上，
又|AF₁′|=|AF₁|=$\frac{5}{2}$，∴|F₁′F₂|=1，
∴${{F}_{1}}^{'}$（1，-1），線段F₁′F₁的中點（0，-$\frac{1}{2}$），
∴k₁=$\frac{\frac{3}{2}-（-\frac{1}{2}）}{1-0}$=2．
故答案為：2．

點評 本題考查∠F₁AF₂的角平分線l所在直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．