Question

10．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，長(zhǎng)軸AB上2016個(gè)等分點(diǎn)從左到右依次為點(diǎn)M₁，M₂，…，M₂₀₁₅，過M₁點(diǎn)作斜率為k（k≠0）的直線，交橢圓C于P₁，P₂兩點(diǎn)，P₁點(diǎn)在x軸上方；過M₂點(diǎn)作斜率為k（k≠0）的直線，交橢圓C于P₃，P₄兩點(diǎn)，P₃點(diǎn)在x軸上方；以此類推，過M₂₀₁₅點(diǎn)作斜率為k（k≠0）的直線，交橢圓C于P₄₀₂₉，P₄₀₃₀兩點(diǎn)，P₄₀₂₉點(diǎn)在x軸上方，則4030條直線AP₁，AP₂，…，AP₄₀₃₀的斜率乘積為-2^-2015．

Answer 1

分析 運(yùn)用橢圓的離心率公式，可得a²=2b²=2c²，設(shè)M_n的坐標(biāo)為（t，0），直線方程為y=k（x-t），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，可得${k}_{A{P}_{n}}$•${k}_{A{P}_{n+1}}$=$\frac{t-a}{2（t+a）}$，再由等分點(diǎn)，設(shè)出t的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)整理，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a²=2b²=2c²，
設(shè)M_n的坐標(biāo)為（t，0），直線方程為y=k（x-t），
代入橢圓方程x²+2y²=2b²，可得（1+2k²）x²-4tk²x+2k²t²-2b²=0，
即有x₁+x₂=$\frac{4t{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}{t}^{2}-2^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
${k}_{A{P}_{n}}$•${k}_{A{P}_{n+1}}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+a}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+a}$=$\frac{{k}^{2}（{x}_{1}-t）（{x}_{2}-t）}{（{x}_{1}+a）（{x}_{2}+a）}$
=$\frac{{k}^{2}（{x}_{1}{x}_{2}+{t}^{2}-t（{x}_{1}+{x}_{2}））}{{x}_{1}{x}_{2}+{a}^{2}+a（{x}_{1}+{x}_{2}）}$=$\frac{{k}^{2}（2{k}^{2}{t}^{2}-2^{2}-4{t}^{2}{k}^{2}+{t}^{2}+2{k}^{2}{t}^{2}）}{2{k}^{2}{t}^{2}-2^{2}+4at{k}^{2}+{a}^{2}+2{k}^{2}{a}^{2}}$
=$\frac{{t}^{2}-2^{2}}{2（{t}^{2}+2at+{a}^{2}）}$=$\frac{{t}^{2}-{a}^{2}}{2（t+a）^{2}}$=$\frac{t-a}{2（t+a）}$，
可令t=-$\frac{2014a}{2016}$，-$\frac{2012a}{2016}$，…，-$\frac{4a}{2016}$，-$\frac{2a}{2016}$，0，$\frac{2a}{2016}$，$\frac{4a}{2016}$，…，$\frac{2012a}{2016}$，$\frac{2014a}{2016}$，
即有AP₁，AP₂，…，AP₄₀₃₀的斜率乘積為$\frac{1}{{2}^{2015}}$•（$\frac{-4030}{2}$•$\frac{-4028}{4}$…$\frac{-2020}{2012}$•$\frac{-2018}{2014}$）•$\frac{-1}{1}$•（$\frac{-2014}{2018}$•$\frac{-2012}{2020}$…$\frac{-4}{4028}$•$\frac{-2}{4030}$）=-$\frac{1}{{2}^{2015}}$．
故答案為：-2^-2015．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，注意直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，運(yùn)算量較大，屬于難題．