Question

16．設(shè)橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點O為坐標原點，點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，b），點M在線段AB上，滿足|BM|=2|MA|，直線OM的斜率為$\frac{\sqrt{5}}{10}$．則E的離心率e=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由題設(shè)條件知，點M（$\frac{2a}{3}$，$\frac{3}$），$\frac{2a}=\frac{\sqrt{5}}{10}$，由此能求出橢圓E的離心率．

解答 解：∵橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），點O為坐標原點，
點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，b），點M在線段AB上，
滿足|BM|=2|MA|，直線OM的斜率為$\frac{\sqrt{5}}{10}$，
∴由題設(shè)條件知，點M（$\frac{2a}{3}$，$\frac{3}$），又${k}_{OM}=\frac{\sqrt{5}}{10}$，從而$\frac{2a}=\frac{\sqrt{5}}{10}$．
∴a=$\sqrt{5}b$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=2b，
∴E的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．