Question

15．設(shè)不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{y≤3n-nx（n∈N*）}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域D_n，記D_n內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為a_n，（整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，b_k=${C}_{n}^{k}$a_k（k=1，2，3，…，n），T_n=$\sum_{k=1}^{n}$b_k，若對(duì)于一切正整數(shù)n，$\frac{n{S}_{n}}{{T}_{n}}$≤m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{y≤3n-nx（n∈N*）}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域D_n，記D_n內(nèi)的整點(diǎn)：（1，1），（1，2），…，（1，2n），（2，1），（2，2），…，（2，n）．即可得出．
（2）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{3n（n+1）}{2}$．b_k=${C}_{n}^{k}$a_k=$3k{∁}_{n}^{k}$=3n${∁}_{n-1}^{k-1}$，T_n=$\sum_{k=1}^{n}$b_k=3$（{∁}_{n}^{1}+2{∁}_{n}^{2}+…+n{∁}_{n}^{n}）$=3n$（{∁}_{n-1}^{0}+{∁}_{n-1}^{1}+…+{∁}_{n-1}^{n-1}）$=3n2^n-1．
f（n）=$\frac{n{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$，對(duì)n討論，即可得出最大值．

解答 解：（1）n=1時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{x＞0，y＞0}\\{y≤3-x}\end{array}\right.$，D₁內(nèi)的整點(diǎn)（1，1），（1，2），（2，1），總個(gè)數(shù)a₁=3×1．
n=2時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{x＞0，y＞0}\\{y≤6-2x}\end{array}\right.$，D₂內(nèi)的整點(diǎn)（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），總個(gè)數(shù)a₂=6=3×2．
…，
不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{y≤3n-nx（n∈N*）}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域D_n，記D_n內(nèi)的整點(diǎn)：（1，1），（1，2），…，（1，2n），（2，1），（2，2），…，（2，n）．
總個(gè)數(shù)a_n=2n+n=3n．
∴a_n=3n．
（2）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$=$\frac{3n（n+1）}{2}$．
b_k=${C}_{n}^{k}$a_k=$3k{∁}_{n}^{k}$=3n${∁}_{n-1}^{k-1}$，
T_n=$\sum_{k=1}^{n}$b_k=3$（{∁}_{n}^{1}+2{∁}_{n}^{2}+…+n{∁}_{n}^{n}）$=3n$（{∁}_{n-1}^{0}+{∁}_{n-1}^{1}+…+{∁}_{n-1}^{n-1}）$=3n2^n-1．
f（n）=$\frac{n{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{\frac{3{n}^{2}（n+1）}{2}}{3n•{2}^{n-1}}$=$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$，
當(dāng)n=1時(shí)，2¹-1×（1+1）=0，f（1）=1；
當(dāng)n=2時(shí)，2²-2×（2+1）=-2＜0，f（2）=$\frac{3}{2}$；
當(dāng)n=3時(shí)，2³-3×（3+1）=-4＜0，f（3）=$\frac{3}{2}$；
當(dāng)n=4時(shí)，2⁴-4×（4+1）=-4＜0，f（4）=$\frac{5}{4}$；
當(dāng)n=5時(shí)，2⁵-5×（5+1）=2＞0，f（5）=$\frac{15}{16}$＜1；
…，
當(dāng)n≥5時(shí)，2ⁿ-n（n+1）＞0，（利用二項(xiàng)式定理可證明），f（n）＜1．
可得f（n）_max=$\frac{3}{2}$
若對(duì)于一切正整數(shù)n，$\frac{n{S}_{n}}{{T}_{n}}$≤m恒成立，
∴m≥$\frac{3}{2}$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、組合數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、恒成立問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．