Question

9．若1＜x₁＜x₂＜3，則（　�。�

• A． x₁lnx₂＜x₂lnx₁
• B． x₁lnx₂＞x₂lnx₁
• C． x₁e${\;}^{{x}_{2}}$＜x₂e${\;}^{{x}_{1}}$
• D． x₁e${\;}^{{x}_{2}}$＞x₂e${\;}^{{x}_{1}}$

Answer 1

分析 分別構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{lnx}{x}$和f（x）=$\frac{e^x}{x}$，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后根據(jù)單調(diào)性得出數(shù)值的大小關(guān)系．

解答 解：先考察A，B選項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{lnx}{x}$，x∈（1，3），
則令F'（x）=$\frac{1-lnx}{x^2}$=0，解得x=e∈（1，3），
所以，F(xiàn)（x）在（1，e）上遞增，在（e，3）上遞減，
因此，F(xiàn)（x）在x₁，x₂處的函數(shù)值大小關(guān)系無(wú)法確定，所以A，B選項(xiàng)均不合題意；
再考察C，D選項(xiàng)的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{e^x}{x}$，x∈（0，+∞），
則令f'（x）=$\frac{e^x（x-1）}{x^2}$，解得x=1，
當(dāng)x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調(diào)第增，
所以，當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，f（x）=$\frac{e^x}{x}$單調(diào)遞增，
因?yàn)?＜x₁＜x₂＜3，所以f（x₁）＜f（x₂），
即$\frac{{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{2}}$，因此，x₁${e}^{{x}_{2}}$＞x₂${e}^{{x}_{1}}$，
故答案為：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性及其應(yīng)用，涉及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和確定單調(diào)性區(qū)間，屬于中檔題．