Question

9．在△ABC中，角A，B、C的對邊分別為a，b，c，且向量$\overrightarrow{m}$=（sin（A-B），a²-b²）與向量$\overrightarrow{n}$=（sin（A+B），a²+b²）共線，若角c=120°，則角A=30°．

Answer 1

分析 由已知結合向量共線可得（a²+b²）sin（A-B）-（a²-b²）sin（A+B）=0，展開兩角和與差的正弦，再利用正弦定理化邊為角，可得sin2B=sin2A，再由c=120°，可得A=B=30°．

解答 解：由$\overrightarrow{m}$=（sin（A-B），a²-b²）與$\overrightarrow{n}$=（sin（A+B），a²+b²）共線，
可得（a²+b²）sin（A-B）-（a²-b²）sin（A+B）=0，
即（a²+b²）（sinAcosB-cosAsinB）-（a²-b²）（sinAcosB+cosAsinB）=0．
整理得：b²sinAcosB-a²cosAsinB=0，
由$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=2R$，代入上式得sin²BsinAcosB-sin²AcosAsinB=0，
∵A，B為三角形的內(nèi)角，∴sinA•sinB≠0，得
sinBcosB-sinAcosA=0，即sin2B=sin2A，
∵c=120°，∴A=B=30°．
故答案為：30°．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了正弦定理在解三角形中的應用，是中檔題．