Question

7．在以棱長為1的正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求：
（1）異面直線AB₁與BC₁所成角的大小；
（2）直線AC₁與平面BCB₁C₁所成角的余弦值；
（3）二面角A-CD-B₁的大�。�

Answer 1

分析 （1）連接AD₁，B₁D₁，將直線BC₁平移到AD₁，根據(jù)異面直線所成角的定義可知∠D₁AB₁為異面直線AB₁與BC₁所成的角，而三角形D₁AB₁為等邊三角形，即可得到此角；
（2）由題意，∠AC₁B為直線AC₁與平面BCB₁C₁所成角；
（3）連接B₁C，則∠B₁CB為二面角A-CD-B₁的平面角．

解答 解：（1）連接AD₁，B₁D₁，BC₁∥AD₁
∴∠D₁AB₁為異面直線AB₁與BC₁所成的角
而三角形D₁AB₁為等邊三角形
∴∠D₁AB₁=60°；
（2）由題意，∠AC₁B為直線AC₁與平面BCB₁C₁所成角，
∵BC₁=$\sqrt{2}$，AC₁=$\sqrt{3}$，
∴cos∠AC₁B=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（3）連接B₁C，則∠B₁CB為二面角A-CD-B₁的平面角，
∴二面角A-CD-B₁的平面角為45°．

點評 本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角求法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．