5.若α∈(-$\frac{π}{2}$,0),且2cos2α=sin($\frac{π}{4}-α$),則cos2α的值為$\frac{\sqrt{15}}{8}$.

分析 由已知推導(dǎo)出cosα+sinα=$\frac{\sqrt{2}}{4}$,cosα-sinα=$\frac{\sqrt{30}}{4}$,解得cosα=$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{8}$,由此能求出cos2α.

解答 解:∵α∈(-$\frac{π}{2}$,0),∵sinα<0,cosα>0,
∵2cos2α=sin($\frac{π}{4}-α$),
∴2(cos2α-sin2α)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$(cosα-sinα),
∴cosα+sinα=$\frac{\sqrt{2}}{4}$,①
∴1+2sinαcosα=$\frac{1}{8}$,2sinαcosα=-$\frac{7}{8}$,
(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1+$\frac{7}{8}$=$\frac{15}{8}$,
∴cosα-sinα=$\frac{\sqrt{30}}{4}$,②
聯(lián)立①②,解得cosα=$\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{8}$,
∴cos2α=2cos2α-1=2($\frac{\sqrt{30}+\sqrt{2}}{8}$)2-1=$\frac{\sqrt{15}}{8}$.
故答案為:$\frac{\sqrt{15}}{8}$.

點評 本題考查三角函數(shù)值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意同角三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角公式的合理運用.

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