Question

1．設(shè)A，B是拋物線y²=2px（p＞0）上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB．
（1）求A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；
（2）求證：直線AB過定點(diǎn)；
（3）過O作AB的垂線，垂足為P，求P的軌跡方程；
（4）求△AOB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出A，B，中點(diǎn)P的坐標(biāo)，分別表示出AO，OB的斜率，利用二者垂直判斷出二者斜率乘積為-1求得x₁x₂+y₁y₂=0把拋物線的方程代入即可求得x₁x₂和y₁y₂．
（2）若OA⊥OB時(shí)，設(shè)直線AB：x=my+n，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可得結(jié)論．
（3）直接設(shè)出直線AB的方程：y=kx+b，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及條件OA⊥OB可推出b與k的聯(lián)系，再由OD⊥AB得k=-$\frac{x}{y}$代入直線方程即可．
（4）根據(jù)S_△AOB=S_△AOM+S_△BOM，表示出△AOB面積，利用基本不等式求得面積的最小值．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點(diǎn)P（x₀，y₀），
∵OA⊥OB，∴k_OA•k_OB=-1，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$•$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$+y₁y₂=0．∵y₁≠0，y₂≠0，∴y₁y₂=-4p²，∴x₁x₂=4p²，
（2）證明：若OA⊥OB時(shí)，設(shè)直線AB：x=my+n．
代入拋物線方程可得y²-2pmy-2pn=0
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$•$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$+y₁y₂=0，
∴y₁y₂=-4p²=-2pn，
∴n=2p，
即直線AB：x=my+2p過定點(diǎn)（2p，0）．
（3）解：設(shè)D（x，y），直線AB方程為y=kx+b，
由OD⊥AB得k=-$\frac{x}{y}$．
由y²=2px及y=kx+b消去y，得
k²x²+x（2kb-2p）+b²=0．
所以x₁x₂=$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$．消去x，得ky²-2py+2pb=0．所以y₁y₂=$\frac{2pb}{k}$．
由OA⊥OB，
得y₁y₂=-x₁x₂，所以$\frac{2pb}{k}$=-$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$，b=-2kp．
故y=kx+b=k（x-2p）．
用k=-$\frac{x}{y}$代入，得x²+y²-2px=0（x≠0）．
（4）解：S_△AOB=S_△AOM+S_△BOM=$\frac{1}{2}$|MO|（|y₁|+|y₂|）=p（|y₁|+|y₂|）≥2p$\sqrt{|{y}_{1}{y}_{2}|}$=4p²．
當(dāng)且僅當(dāng)|y₁|=|y₂|=2p時(shí)等號(hào)成立．∴△AOB的面積的最小值為4p²．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力．解題的關(guān)鍵是靈活利用韋達(dá)定理，直線方程和曲線的方程聯(lián)立等．