Question

1．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所圍成菱形的面積為$8\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求圓的方程；
（Ⅱ）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓C上，且對(duì)角線AC，BD均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，若${k_{AC}}•{k_{BD}}=-\frac{1}{2}$．
（1）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范圍；
（2）證明：四邊形ABCD的面積為定值．

Answer 1

分析 （I）由橢圓的離心率和橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所圍成菱形的面積，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓的方程．
（II）（1）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，與橢圓聯(lián)立，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由此利用根的判別式、向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，結(jié)合已知條件能求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取會(huì)晤范圍．）
（2）設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式能證明四邊形ABCD的面積為定值．

解答 （本小題滿分14分）
解：（I）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所圍成菱形的面積為$8\sqrt{2}$，
∴由已知，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}•2a•2b=8\sqrt{2}$，a²=b²+c²，
解得a=2$\sqrt{2}$，b=c=2，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．（5分）
（II）（1）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2．
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}}\end{array}\right.$，（m²≠4）
∵k_OA•k_OB=k_AC•k_BD，
∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}≠-1$，
∴${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{1}{2}•\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$
=${k}^{2}•\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+km•$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴-$\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，∴-（m²-4）=m²-8k²，
∴4k²+2=m²，（9分）
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}-\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{4{k}^{2}+2-4}{1+2{k}^{2}}$=2-$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$，
∴-2=2-4≤$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$＜2，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最大值為2
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$∈[-2，0）∪（0，2]．（10分）
證明：（2）設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，
則S_△AOE=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₂-x₁|•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{|m|}{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{|m|}{2}$$\sqrt{（\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}}$
=$\frac{|m|}{2}$$\sqrt{\frac{64{k}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{16（{m}^{2}-4）}{{m}^{2}}}$
=2$\sqrt{4{k}^{2}-{m}^{2}+4}$
=2$\sqrt{2}$，
∴S_{四邊形ABCD}=4S_△AOB=8$\sqrt{2}$為定值．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查向量數(shù)量積的取值范圍的求法，考查四邊形面積為正確的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．