Question

17．已知f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，且2＜p＜q．，求證：對于x∈（p，q），有$\frac{f（x）-f（p）}{x-p}$＞$\frac{f（x）-f（q）}{x-q}$．

Answer 1

分析 先求導，利用導數(shù)判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，得到f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，分別設A點的坐標為（x，f（x）），B為（p，f（p）），C（q，f（q）），利用斜率即可證明．

解答 解：∵f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵2＜p＜q，
∴f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
如圖所示，
設A點的坐標為（x，f（x）），B為（p，f（p）），C（q，f（q）），
則k_AB=$\frac{f（x）-f（p）}{x-p}$，k_AC=$\frac{f（x）-f（q）}{x-q}$．
由圖象可知k_AB＞k_AC，
∴對于x∈（p，q），有$\frac{f（x）-f（p）}{x-p}$＞$\frac{f（x）-f（q）}{x-q}$．

點評 本題考查導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關系，以及有關直線的斜率問題，屬于中檔題．