3．（1）設(shè)a，b，c均為正數(shù)，求證：$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$中至少有一個不小于2；
（2）設(shè)a＞0，b＞0，a+b=1，試用分析法證明$\sqrt{1+2a}+\sqrt{1+2b}≤2\sqrt{2}$．

分析 （1）假設(shè)$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$都小于2，則a+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$＜6．再結(jié)合基本不等式，引出矛盾，即可得出結(jié)論．
（2）尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件已經(jīng)顯然具備為止．

解答 證明：（1）假設(shè)$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$都小于2，則a+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$＜6．
∵a、b、c∈R+，
∴a+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{c}$+c+$\frac{1}{a}$=a+$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+b+$\frac{1}{c}$+c≥2+2+2=6，矛盾．
∴$a+\frac{1}，b+\frac{1}{c}，c+\frac{1}{a}$中至少有一個不小于2．
（2）要證$\sqrt{1+2a}+\sqrt{1+2b}≤2\sqrt{2}$成立，需證1+2a+2$\sqrt{（1+2a）（1+2b）}$+1+2b≤8，
∵a+b=1，
∴只需證$\sqrt{（1+2a）（1+2b）}$≤2，
∵$\sqrt{（1+2a）（1+2b）}$≤$\frac{1+2a+1+2b}{2}$=2
∴要證的不等式成立．

點(diǎn)評 用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面，是解題的突破口，用分析法證明不等式，關(guān)鍵是尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件已經(jīng)顯然具備為止，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

13．若函數(shù)y=f（x）同時滿足：（�。⿲τ诙x域內(nèi)的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；（ⅱ）對于定義域內(nèi)的任意x1，x2，當(dāng)x1≠x2時，恒有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，則稱函數(shù)f（x）為“二維函數(shù)”．現(xiàn)給出下列四個函數(shù)：
①f（x）=$\frac{1}{x}$
②f（x）=-x3+x
③$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}x$
④$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}，x≥0\\{x^2}，x＜0\;.\end{array}\right.$
其中能被稱為“二維函數(shù)”的有④（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

14．已知$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為θ，則tanθ=（　�。�
A．$\sqrt{3}$B．$\frac{\sqrt{3}}{3}$C．-1D．-$\frac{\sqrt{3}}{3}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

11．已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式為f（x）=$3sin（\frac{π}{4}x+\frac{π}{4}）$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

18．設(shè)命題p的否定是“$?x＞0，\sqrt{x}＞x+1$”，則命題p是?x＞0，$\sqrt{x}≤x+1$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．已知$sinα=\frac{3}{5}$，且α是第一象限角．
（1）求cosα的值；
（2）求tan（π+α）的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．對于任意的n∈N*，記集合En={1，2，3，…，n}，Pn=$\left\{{x\left|{x=\frac{a}{{\sqrt}}，a∈{E_n}，b∈{E_n}}\right.}\right\}$．若集合A滿足下列條件：①A⊆Pn；②?x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，則稱A具有性質(zhì)Ω．
如當(dāng)n=2時，E2={1，2}，P2=$\{1，2，\frac{1}{{\sqrt{2}}}，\frac{2}{{\sqrt{2}}}\}$．?x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，所以P2具有性質(zhì)Ω．
（Ⅰ）寫出集合P3，P5中的元素個數(shù)，并判斷P3是否具有性質(zhì)Ω．
（Ⅱ）證明：不存在A，B具有性質(zhì)Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．
（Ⅲ）若存在A，B具有性質(zhì)Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B，求n的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

12．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=$\frac{{-{2^x}+b}}{{{2^{x+1}}+a}}$（a，b是常數(shù)）是奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）若對于任意$x∈[{\frac{1}{2}，3}]$都有f（kx2）+f（2x-1）＞0成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

13．已知α和β均為銳角，且sinα=$\frac{4}{5}$，cosβ=$\frac{12}{13}$．
（1）求sin（α+β）的值；
（2）求tan（α-β）的值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案