Question

13．已知α和β均為銳角，且sinα=$\frac{4}{5}$，cosβ=$\frac{12}{13}$．
（1）求sin（α+β）的值；
（2）求tan（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用同角三角函數的基本關系求得 cosα 和sinβ 的值，兩角的正弦公式求得 sin（α+β）的值．
（2）由（1）求得tanα 和tanβ 的值，再利用兩角差的正切公式求得tan（α-β）的值．

解答 解：（1）∵已知α和β均為銳角，且sinα=$\frac{4}{5}$，cosβ=$\frac{12}{13}$，∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{5}{13}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{4}{5}•\frac{12}{13}$+$\frac{3}{5}•\frac{5}{13}$=$\frac{63}{65}$．
（2）由（1）可得tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{4}{3}$，tanβ=$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{5}{12}$，
∴tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanα•tanβ}$=$\frac{\frac{4}{3}-\frac{5}{12}}{1+\frac{4}{3}•\frac{5}{12}}$=$\frac{33}{56}$．

點評 本題主要考查同角三角函數的基本關系，兩角差的正切公式的應用，屬于基礎題．