Question

15．對于任意的n∈N^*，記集合E_n={1，2，3，…，n}，P_n=$\left\{{x\left|{x=\frac{a}{{\sqrt}}，a∈{E_n}，b∈{E_n}}\right.}\right\}$．若集合A滿足下列條件：①A⊆P_n；②?x₁，x₂∈A，且x₁≠x₂，不存在k∈N^*，使x₁+x₂=k²，則稱A具有性質Ω．
如當n=2時，E₂={1，2}，P₂=$\{1，2，\frac{1}{{\sqrt{2}}}，\frac{2}{{\sqrt{2}}}\}$．?x₁，x₂∈P₂，且x₁≠x₂，不存在k∈N^*，使x₁+x₂=k²，所以P₂具有性質Ω．
（Ⅰ）寫出集合P₃，P₅中的元素個數(shù)，并判斷P₃是否具有性質Ω．
（Ⅱ）證明：不存在A，B具有性質Ω，且A∩B=∅，使E₁₅=A∪B．
（Ⅲ）若存在A，B具有性質Ω，且A∩B=∅，使P_n=A∪B，求n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件能求出集合P₃，P₅中的元素個數(shù)，并判斷出P₃不具有性質Ω．
（Ⅱ）假設存在A，B具有性質Ω，且A∩B=∅，使E₁₅=A∪B．其中E₁₅={1，2，3，…，15}，從而1∈A∪B，由此推導出與A具有性質Ω矛盾．從而假設不成立，即不存在A，B具有性質Ω，且A∩B=∅，使E₁₅=A∪B．
（Ⅲ）當n≥15時，不存在A，B具有性質Ω，且A∩B=∅，使P_n=A∪B．n=14，根據(jù)b=1、b=4、b=9分類討論，能求出n的最大值為14．

解答 解：（Ⅰ）∵對于任意的n∈N^*，記集合E_n={1，2，3，…，n}，P_n=$\left\{{x\left|{x=\frac{a}{{\sqrt}}，a∈{E_n}，b∈{E_n}}\right.}\right\}$．
∴集合P₃，P₅中的元素個數(shù)分別為9，23，
∵集合A滿足下列條件：①A⊆P_n；②?x₁，x₂∈A，且x₁≠x₂，不存在k∈N^*，使x₁+x₂=k²，則稱A具有性質Ω，
∴P₃不具有性質Ω．…..（6分）
證明：（Ⅱ）假設存在A，B具有性質Ω，且A∩B=∅，使E₁₅=A∪B．其中E₁₅={1，2，3，…，15}．
因為1∈E₁₅，所以1∈A∪B，
不妨設1∈A．因為1+3=2²，所以3∉A，3∈B．
同理6∈A，10∈B，15∈A．因為1+15=4²，這與A具有性質Ω矛盾．
所以假設不成立，即不存在A，B具有性質Ω，且A∩B=∅，使E₁₅=A∪B．…..（10分）
解：（Ⅲ）因為當n≥15時，E₁₅⊆P_n，由（Ⅱ）知，不存在A，B具有性質Ω，且A∩B=∅，使P_n=A∪B．
若n=14，當b=1時，$\left\{{x\left|{x=\frac{a}{{\sqrt{1}}}，a∈{E_{14}}}\right.}\right\}={E_{14}}$，
取A₁={1，2，4，6，9，11，13}，B₁={3，5，7，8，10，12，14}，
則A₁，B₁具有性質Ω，且A₁∩B₁=∅，使E₁₄=A₁∪B₁．
當b=4時，集合$\left\{{x\left|{x=\frac{a}{{\sqrt{4}}}，a∈{E_{14}}}\right.}\right\}$中除整數(shù)外，其余的數(shù)組成集合為$\{\frac{1}{2}，\;\;\frac{3}{2}，\;\;\;\frac{5}{2}，\;\;…，\;\;\frac{13}{2}\;\}$，
令${A_2}=\{\frac{1}{2}，\;\;\;\frac{5}{2}，\;\;\;\frac{9}{2}\;，\;\;\frac{11}{2}\;\}$，${B_2}=\{\frac{3}{2}，\;\;\;\frac{7}{2}，\;\;\;\frac{13}{2}\;\}$，
則A₂，B₂具有性質Ω，且A₂∩B₂=∅，使$\{\frac{1}{2}，\;\;\frac{3}{2}，\;\;\;\frac{5}{2}，\;\;…，\;\;\frac{13}{2}\;\}={A_2}∪{B_2}$．
當b=9時，集$\left\{{x\left|{x=\frac{a}{{\sqrt{9}}}，a∈{E_{14}}}\right.}\right\}$中除整數(shù)外，其余的數(shù)組成集合$\{\frac{1}{3}，\;\;\frac{2}{3}，\;\;\;\frac{4}{3}，\;\frac{5}{3}，\;\frac{7}{3}，\;\;\frac{8}{3}，\;\;\;\frac{10}{3}，\;\frac{11}{3}，\;\frac{13}{3}，\;\;\frac{14}{3}\;\}$，
令${A_3}=\{\frac{1}{3}，\;\;\;\frac{4}{3}，\;\frac{5}{3}，\;\;\frac{10}{3}，\;\;\frac{13}{3}\;\}$，${B_3}=\{\;\frac{2}{3}，\;\;\frac{7}{3}，\;\frac{8}{3}，\;\;\frac{11}{3}，\;\;\frac{14}{3}\;\}$．
則A₃，B₃具有性質Ω，且A₃∩B₃=∅，使$\{\frac{1}{3}，\;\;\frac{2}{3}，\;\;\;\frac{4}{3}，\;\frac{5}{3}，\;\frac{7}{3}，\;\;\frac{8}{3}，\;\;\;\frac{10}{3}，\;\frac{11}{3}，\;\frac{13}{3}，\;\;\frac{14}{3}\;\}={A_3}∪{B_3}$．
集合$C=\left\{{x\left|{x=\frac{a}{{\sqrt}}，a∈{E_{14}}，b∈{E_{14}}，b≠1，4，9}\right.}\right\}$中的數(shù)均為無理數(shù)，
它與P₁₄中的任何其他數(shù)之和都不是整數(shù)，
因此，令A=A₁∪A₂∪A₃∪C，B=B₁∪B₂∪B₃，則A∩B=∅，且P₁₄=A∪B．
綜上，所求n的最大值為14．…..（14分）

點評 本題考查集合性質的應用，考查實數(shù)值最大值的求法，綜合性強，難度大，對數(shù)學思維要求高，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．