Question

已知函數(shù)f(x)＝，x∈[1，＋∞)，

(1)當(dāng)a＝時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值．

(2)若對(duì)任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

解析：(1)當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝x＋＋2.

求導(dǎo)，得f′(x)＝1－，

在[1，＋∞)上恒有f′(x)＞0，

故f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)．

∴f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上的最小值為f(1)＝.

(2)在區(qū)間[1，＋∞)上，f(x)＝＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立，

設(shè)g(x)＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，

配方，得g(x)＝(x＋1)2＋a－1，

顯然g(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)．

故在區(qū)間[1，＋∞)上，要使x2＋2x＋a＞0恒成立，只要g(1)＞0即可．

由g(1)＝3＋a＞0，解得a＞－3.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－3，＋∞)．