Question

14．某種商品的包裝費(fèi)y（元）與商品的重量x（千克）有如下函數(shù)關(guān)系：y=ax²+bx+64，其中x＞0，當(dāng)x=1千克時(shí)，y=52元，當(dāng)x=6.5千克時(shí)，y取最小值
（1）若要使商品的包裝費(fèi)低于28元，求商品重量x的取值范圍
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，平均每千克的包裝費(fèi)P最低，并求出P的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)的解析式，再解對(duì)應(yīng)的不等式組即可．
（2）由于p=$\frac{y}{x}$=x+$\frac{64}{x}$-13，利用基本不等式即可求出最值．

解答 解：（1）由y=ax²+bx+64，其中x＞0，當(dāng)x=1千克時(shí)，y=52元，當(dāng)x=6.5千克時(shí)，y取最小值，
得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+64=52}\\{-\frac{2a}=6.5}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-13，
∴y=x²-13x+64，
∵商品的包裝費(fèi)低于28元，
∴0＜x²-13x+64＜28，
解得4＜x＜9，
∴商品重量x的取值范圍為（4，9）．
（2）p=$\frac{y}{x}$=x+$\frac{64}{x}$-13≥2$\sqrt{x•\frac{64}{x}}$-13=2×8-13=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=8時(shí)，取等號(hào)，
∴x=8時(shí)，平均每千克的包裝費(fèi)P最低，P的最小值為3元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法即可求出函數(shù)的解析式和不等式的解法和不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．