Question

15．對于函數(shù)y=f（x），若x₀滿足f（x₀）=x₀，則稱x₀位函數(shù)f（x）的一階不動點，若x₀滿足f（f（x₀））=x₀，則稱x₀位函數(shù)f（x）的二階不動點，若x₀滿足f（f（x₀））=x₀，且f（x₀）≠x₀，則稱x₀為函數(shù)f（x）的二階周期點．
（1）設(shè)f（x）=kx+1．
①當(dāng)k=2時，求函數(shù)f（x）的二階不動點，并判斷它是否是函數(shù)f（x）的二階周期點；
②已知函數(shù)f（x）存在二階周期點，求k的值；
（2）若對任意實數(shù)b，函數(shù)g（x）=x²+bx+c都存在二階周期點，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①當(dāng)k=2時，f（x）=2x+1，結(jié)合二階不動點和二階周期點的定義，可得答案；
②由二階周期點的定義，結(jié)合f（x）=kx+1，可求出滿足條件的k值；
（2）若對任意實數(shù)b，函數(shù)g（x）=x²+bx+c都存在二階周期點，則函數(shù)g（x）=x²+bx+c=x恒有兩個不等的實數(shù)根，解得答案．

解答 解：（1）①當(dāng)k=2時，f（x）=2x+1，
f（f（x））=2（2x+1）+1=4x+3，
解4x+3=x得：x=-1，
即-1為函數(shù)f（x）的二階不動點，
時f（-1）=-1，
即-1不是函數(shù)f（x）的二階周期點；
②∵f（x）=kx+1，
∴f（f（x））=k²x+k+1，
令f（f（x））=x，
則x=$\frac{k+1}{1-{k}^{2}}$=$\frac{1}{1-k}$，（k≠±1），或x=0，k=-1，
令f（x）=x，則x=$\frac{1}{1-k}$，
若函數(shù)f（x）存在二階周期點，則k=-1，
（2）若x₀為函數(shù)f（x）的二階周期點．
則f（f（x₀））=x₀，且f（x₀）≠x₀，
若x₁為函數(shù)f（x）的二階不動點，
則f（f（x₁））=x₁，且f（x₁）=x₁，
則f（x₀）=f（x₁），
則x₀≠x₁，且f（x₀）+f（x₁）=-b，
即函數(shù)g（x）=x²+bx+c=x恒有兩個不等的實數(shù)根，
故△=（b-1）²-4c＞0恒成立，
解得：c＜0．

點評 本題以二階不動點和二階周期點為載體，考查了二次函數(shù)的基本性質(zhì)，正確理解二階不動點和二階周期點的概念是解答的關(guān)鍵．