20.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( 。
A.?x0∈R,f(x0)=0
B.若x0是f(x)的極小值點(diǎn),則f(x)在區(qū)間(-∞,x0)上單調(diào)遞減
C.函數(shù)f(x)的圖象是中心對稱圖形
D.若x0是f(x)的極值點(diǎn),則f′(x0)=0

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,極值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

解答 解:A.當(dāng)x→+∞時(shí),f(x)→+∞,當(dāng)x→-∞時(shí),f(x)→-∞,即?x0∈R,f(x0)=0,故A正確,
B.(1)當(dāng)△=4a2-12b>0時(shí),f′(x)=0有兩解,不妨設(shè)為x1<x2,列表如下

x(-∞,x1x1(x1,x2x2(x2,+∞)
f′(x)+0-0+
f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增
由表格可知:x2是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),但是f(x)在區(qū)間(-∞,x2)不具有單調(diào)性,
即若x0是f(x)的極小值點(diǎn),則f(x)在區(qū)間(-∞,x0)上單調(diào)遞減,錯(cuò)誤,故B不正確.
C.∵f(-$\frac{2a}{3}$-x)+f(x)=[${(-\frac{2a}{3}-x)}^{3}$+a${(-\frac{2a}{3}-x)}^{2}$+b(-$\frac{2a}{3}$-x)+c]+(x3+ax2+bx+c)=$\frac{{4a}^{3}}{9}$-$\frac{2ab}{3}$+2c,
f(-$\frac{a}{3}$)=$\frac{{2a}^{3}}{9}$-$\frac{ab}{3}$+c,
∴f(-$\frac{2a}{3}$-x)+f(x)=2f(-$\frac{a}{3}$),
∴f(x)關(guān)于點(diǎn)P(-$\frac{a}{3}$,f(-$\frac{a}{3}$))成中心對稱,∴故函數(shù)y=f(x)的圖象一定是中心對稱圖形,故C正確,
D.根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)的定義和性質(zhì)值,若若x0是f(x)的極值點(diǎn),則f′(x0)=0,故D正確,
故選:B.

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,著重考查導(dǎo)函數(shù)與極值的應(yīng)用,要求熟練掌握三次函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于中檔題

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(1)設(shè)f(x)=kx+1.
①當(dāng)k=2時(shí),求函數(shù)f(x)的二階不動(dòng)點(diǎn),并判斷它是否是函數(shù)f(x)的二階周期點(diǎn);
②已知函數(shù)f(x)存在二階周期點(diǎn),求k的值;
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