Question

8．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，若a₂=5且a₁，a₃，a₆成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=0且對任意的n≥2，均有|b_n-b_n-1|=2${\;}^{{a}_{n}}$
①寫出b₃所有可能的取值；
②若b_k=2116，求k的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意列式求得等差數(shù)列的公差，則等差數(shù)列的通項公式可求；
（2）①把數(shù)列{a_n}的通項公式代入|b_n-b_n-1|=2${\;}^{{a}_{n}}$（n≥2），去絕對值，即可求得b₃所有可能的取值；
②在①的基礎(chǔ)上依次求解，即可得到滿足b_k=2116時k的最小值．

解答 解：（1）由題意，$（{a}_{2}+d）^{2}=（{a}_{2}-d）（{a}_{2}+4d）$，
即（5+d）²=（5-d）（5+4d），整理得5d²-5d=0，
∵d≠0，∴d=1，則a₁=a₂-d=5-1=4，
∴a_n=4+1×（n-1）=n+3；
（2）①由|b_n-b_n-1|=2${\;}^{{a}_{n}}$（n≥2），得$|_{n}-_{n-1}|={2}^{n+3}$，
∴$_{2}-_{1}=±{2}^{5}=±32$，則b₂=±32．
$_{3}-_{2}=±{2}^{6}=±64$，
當(dāng)b₂=32時，b₃=-32或b₃=96；
當(dāng)b₂=-32時，b₃=-96或b₃=32．
∴b₃所有可能的取值為-96，-32，32，96；
②$_{4}-_{3}=±{2}^{7}$=±128，當(dāng)b₃=96時，b₄=224；
$_{5}-_{4}=±{2}^{8}=256$，當(dāng)b₄=224時，；b₅=580；
$_{6}-_{5}=±{2}^{9}=±512$，當(dāng)b₅=580時，b₆=1092；
$_{7}-_{6}=±{2}^{10}=±1024$，當(dāng)b₆=1092時，b₇=2116．
∴b_k=2116，k的最小值為7．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運算求解能力，是中檔題．