Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|-lnx（a＞0）．
（1）若a＞0，討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=1，求f（x）的最小值；
（3）證

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

+

ln(n+1)2

(n+1)2

＜n-（

1

2

-

1

n+2

）（n∈N^*，且n≥2）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）將絕對值符號化去，分類討論，再求導函數(shù)，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）a=1時，f（x）=|x-1|-lnx，將絕對值符號化去，分類討論，再求導函數(shù)，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而可得f（x）的最小值；
（3）由（2）可知，lnx≤x-1，從而

lnx

x

≤1-

1

x

，令x=n²，可得

lnn

n2

≤

1

2

（1-

1

n2

），再進行疊加，利用放縮法，即可證得結(jié)論成立．

解答： 解：若a≥1，當x≥a時，f（x）=x-a-lna，f′（x）=

x-1

x

≥0，∴f（x）在區(qū)間[a，+∞）上單調(diào)遞增；
當0＜x＜a時，f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1-

1

x

＜0，所以f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減；
若0＜a＜1，當x≥a時，f（x）=x-a-lna，f′（x）=

x-1

x

，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0
∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，（a，1）上單調(diào)遞減；
當0＜x＜a時，f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1-

1

x

＜0，所以f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減；
而f（x）在x=a處連續(xù)，則f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，（0，1）上單調(diào)遞減
綜上，當a≥1時，f（x）的遞增區(qū)間是（a，+∞），遞減區(qū)間是（0，a）；當0＜a＜1時，f（x）的遞增區(qū)間是（1，+∞），遞減區(qū)間是（0，1）；…（6分）
（2）a=1時，f（x）=|x-1|-lnx （x＞0）
當0＜x≤1，f（x）=1-（x+lnx），f′（x）=-1-

1

x

＜0，所以f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減；
當x＞1，f（x）=x-（1+lnx），f′（x）=

x-1

x

＞0，所以f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=1時，f（x）的最小值為f（1）=0…（9分）
（3）由（2）可知，當a=1，x＞1時，有f（x）＞f（1）=0，

lnx

x

＜1-

1

x

，
∴

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

+

ln(n+1)2

(n+1)2

＜n-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+

1

(n+1)2

)，
n≥2時，

1

n2

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

  …（12分）
∴-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

+

1

(n+1)2

)＜-(

1

2

-

1

n+2

)，

∴n-( 1 22 + 1 32 +…+ 1 n2 + 1 (n+1)2 )＜n-( 1 2 - 1 n+2 )

…（14分）

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，用放縮法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，其中，用放縮法證明不等式 是解題的難點．