Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx（a∈R）
（1）若曲線f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 先確定函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx的定義域，
（1）求導(dǎo)f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$，從而可得f′（1）=f′（3），從而求得a=$\frac{2}{3}$；從而得到f′（x）=$\frac{2}{3}$x-$\frac{7}{3}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{（x-2）（2x-3）}{3x}$；從而確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）化簡f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-（2a+1）x+2}{x}$=$\frac{（ax-1）（x-2）}{x}$，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≠\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，從而解得．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+2lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
（1）f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$，
∵曲線f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，
∴f′（1）=f′（3），
即a-（2a+1）+2=3a-（2a+1）+$\frac{2}{3}$，
解得，a=$\frac{2}{3}$；
故f′（x）=$\frac{2}{3}$x-$\frac{7}{3}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{（x-2）（2x-3）}{3x}$；
故f（x）在（0，$\frac{3}{2}$）上是增函數(shù)，在（$\frac{3}{2}$，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)．
（2）∵f′（x）=ax-（2a+1）+$\frac{2}{x}$
=$\frac{a{x}^{2}-（2a+1）x+2}{x}$
=$\frac{（ax-1）（x-2）}{x}$，
∵函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≠\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
故a的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．