Question

【題目】某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，為了控制質(zhì)量，質(zhì)量控制工程師要在產(chǎn)品出廠前對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)．現(xiàn)有（且）份產(chǎn)品，有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)次；（2）混合檢驗(yàn)，將這份產(chǎn)品混合在一起作為一組來檢驗(yàn)．若檢測(cè)通過，則這份產(chǎn)品全部為正品，因而這份產(chǎn)品只要檢驗(yàn)一次就夠了；若檢測(cè)不通過，為了明確這份產(chǎn)品究竟哪幾份是次品，就要對(duì)這份產(chǎn)品逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這份產(chǎn)品的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是正品還是次品都是獨(dú)立的，且每份樣本是次品的概率為．

（1）如果，采用逐份檢驗(yàn)方式進(jìn)行檢驗(yàn)，求檢測(cè)結(jié)果恰有兩份次品的概率；

（2）現(xiàn)對(duì)份產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)概率相關(guān)知識(shí)回答：當(dāng)和滿足什么關(guān)系時(shí)，用混合檢驗(yàn)方式進(jìn)行檢驗(yàn)可以減少檢驗(yàn)次數(shù)？

（3）①當(dāng)（且）時(shí)，將這份產(chǎn)品均分為兩組，每組采用混合檢驗(yàn)方式進(jìn)行檢驗(yàn)，求檢驗(yàn)總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望；

②當(dāng)（，且，）時(shí)，將這份產(chǎn)品均分為組，每組采用混合檢驗(yàn)方式進(jìn)行檢驗(yàn)，寫出檢驗(yàn)總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望（不需證明）．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）①②

【解析】

(1)根據(jù)二項(xiàng)分布的方法求解即可.

(2)記采用逐份檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為,采用混合檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為,再根據(jù)題意求出對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望,再根據(jù)化簡(jiǎn)求解即可.

(3)①設(shè)兩組采用混合檢驗(yàn)的檢驗(yàn)次數(shù)分別為,,由(2)可知

再相加即可.

②根據(jù)題意可知,這組采用混合檢驗(yàn)的檢驗(yàn)次數(shù)所有的可能值均為,再求解數(shù)學(xué)期望即可.

解：（1）如果,采用逐份檢驗(yàn)方式,設(shè)檢測(cè)結(jié)果恰有兩份次品的概率為

檢測(cè)結(jié)果恰有兩份次品的概率．

（2）記采用逐份檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為,采用混合檢驗(yàn)方式,樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為,由已知得,的所有可能取值為

,

=

要減少檢驗(yàn)次數(shù),則,則

∴,,即,

（3）①兩組采用混合檢驗(yàn)的檢驗(yàn)次數(shù)分別為,,則由（2）知,

,,

②設(shè)這組采用混合檢驗(yàn)的檢驗(yàn)次數(shù)分別為,,,,,,且檢驗(yàn)總次數(shù),

,

,

所以檢驗(yàn)總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望．