Question

15．已知△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，其中a=1，A+C=2B，△ABC的面積為S=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
（1）求b的長；
（2）求sinC的值．

Answer 1

分析 （1）由A+C=2B，A+B+C=π，即可解得：B=$\frac{π}{3}$．利用三角形面積公式可求c，根據(jù)余弦定理即可求b的值．
（2）由三角形面積公式可得$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{7}×$sinC，即可解得sinC的值．

解答 解：（1）∵A+C=2B，A+B+C=π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
∵a=1，△ABC的面積為S=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×1×c×\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：c=3．
∴b=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-2accosB}$=$\sqrt{1+9-2×1×3×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$．
（2）∵△ABC的面積為S=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{7}×$sinC，
∴解得：sinC=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．