Question

5．設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為兩個(gè)相互垂直的單位向量，是否存在整數(shù)k，使向量$\overrightarrow{m}$=k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$的夾角為60°，若存在，求k值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，再利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算可得 $\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{{k}^{2}+1}$•cos60°=2k，由此求得k的值，從而得出結(jié)論．

解答 解：由題意可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，設(shè)向量$\overrightarrow{m}$=k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$的夾角為60°，
∵|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{{（k\overrightarrow{a}+\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\sqrt{{（a+k\overrightarrow）}^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow$）=k+k=2k，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\sqrt{{k}^{2}+1}$•cos60°=$\frac{{k}^{2}+1}{2}$=2k，求得k=2+$\sqrt{3}$或k=2-$\sqrt{3}$．
故存在k，滿足條件．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．