Question

3．關(guān)于x的不等式4^x-2×2^x＞0的解集為A，集合B={x∈R|y=log₃（m-x），m∈R}．
（1）若m=4，求A∪B；
（2）若A∩（∁_RB）=A，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 解不等式4^x-2×2^x＞0求出集合A，化簡集合B，（1）求出m=4時的集合B，再計算A∪B；
（2）求出∁_RB，由A∩（∁_RB）=A得出A⊆∁_RB，即可求出m的取值范圍．

解答 解：不等式4^x-2×2^x＞0可化為2^x（2^x-2）＞0，
解得2^x＞2，即x＞1；
∴該不等式的解集為A=（1，+∞）；
又集合B={x∈R|y=log₃（m-x），m∈R}
={x∈R|x＜m，m∈R}
=（-∞，m）；
（1）當m=4時，B=（-∞，4），
∴A∪B=（-∞，4）∪（1，+∞）=（-∞，+∞）=R；
（2）∵B=（-∞，m），∴∁_RB=[m，+∞），
又A∩（∁_RB）=A，
∴A⊆∁_RB，
即m≤1；
∴實數(shù)m的取值范圍是m≤1．

點評 本題考查了不等式的解法和應用問題，也考查了函數(shù)的性質(zhì)與應用問題，考查了集合的運算問題，是綜合性題目．