Question

9．中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，4），橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，若PF₁⊥PF₂，則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{45}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得c=5，再由a，b，c的關(guān)系和P滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答 解：設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
PF₁⊥PF₂，可得${k}_{P{F}_{1}}$•${k}_{P{F}_{2}}$=-1，
即有$\frac{4}{3+c}$•$\frac{4}{3-c}$=-1，
解得c=5，
即a²-b²=25，
由$\frac{9}{{a}^{2}}$+$\frac{16}{^{2}}$=1，解得a=3$\sqrt{5}$，b=2$\sqrt{5}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{45}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{45}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查點(diǎn)在橢圓上滿足橢圓方程，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．