Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角F-DE-B的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1．求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用數(shù)量積為0，證明BC⊥DE．PC⊥DE，即可證明DE⊥平面PBC．
（Ⅱ）求出平面EFD的一個(gè)法向量，平面DEB的法向量，設(shè)求二面角F-DE-B的平面角為θ，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．

解答 （Ⅰ）∵側(cè)棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，
∴如圖建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DC=1．
依題意得$A（1，0，0），P（0，0，1），E（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．B（1，1，0），C（0，1，0）
$\overrightarrow{DE}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{BC}=（-1，0，0）$$\overrightarrow{PC}=（0，1，-1）$
故$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DE}=0$，$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{DE}=0$
所以BC⊥DE．PC⊥DE
∵PC∩BC=C
∴DE⊥平面PBC
（Ⅱ）$B（1，1，0），\overrightarrow{PB}=（1，1，-1）$，又$\overrightarrow{DE}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，故$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{DE}=0$，所以PB⊥DE．
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．
所以平面EFD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{PB}=（1，1，-1）$.$\overrightarrow{DE}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}），\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$，
不妨設(shè)平面DEB的法向量為$\overrightarrow a=（x，y，z）$
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow a•\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}（y+z）=0\\ \overrightarrow a•\overrightarrow{DB}=x+y=0\end{array}\right.$

不妨取x=1則y=-1，z=1，
即$\overrightarrow a=（1，-1，1）$…（10分）
設(shè)求二面角F-DE-B的平面角為θ，
$cosθ=\frac{{\overrightarrow a•\overrightarrow{PB}}}{{|\overrightarrow a||\overrightarrow{PB}|}}=-\frac{1}{3}$…（11分）
因?yàn)棣取蔥0，π]，所以$sinθ=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
二面角F-DE-B的正弦值大小為$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的平面角的求法，空間向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．