Question

【題目】已知橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 的焦點(diǎn) 重合，且點(diǎn) 到直線 的距離為 ， 與 的公共弦長為 .
（1）求橢圓 的方程及點(diǎn) 的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn) 的直線 與 交于 兩點(diǎn)，與 交于 兩點(diǎn)，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 的焦點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，

由點(diǎn) 到直線 的距離為 得 .

∵ ，解得 ，又 為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，∴ .

∵ 與 的公共弦長為 ， 與 都關(guān)于 軸對稱，

而 的方程為 ，從而 與 的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，

∴ ②，

聯(lián)立①②解得 ，

∴ 的方程為 ，點(diǎn) 的坐標(biāo)為

（2）解：當(dāng) 過點(diǎn) 且垂直于 軸時(shí)， 的方程為 代入 求得 ，

∴ ，把 代入 求得 ，∴ ，

此時(shí) .

當(dāng) 與 軸不垂直時(shí)，要使 與 有兩個(gè)交點(diǎn)，可設(shè) 的方程為 ，

此時(shí)設(shè)

把直線 的方程與橢圓 的方程聯(lián)立得 ，

消去 化簡得 ，

可得 ，

∴ ，

把直線 的方程與拋物線 的方程聯(lián)立得 ，

消去 化簡得 ，

可得 ，

∴ ，

,

∵ ，∴ ，∴ ，

∴ ，

綜上可得 的取值范圍是

【解析】(1)由已知求出拋物線的焦點(diǎn)可得出 ,再利用點(diǎn)到直線的距離公式求得c的值，進(jìn)而得到焦點(diǎn)的坐標(biāo)然后求出拋物線的方程，再由已知再設(shè)出公共端點(diǎn)的坐標(biāo)利用弦長公式 代入數(shù)值求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后把數(shù)值帶入到橢圓的方程計(jì)算得出a、b的值進(jìn)而得到橢圓的方程。(2)由題意結(jié)合直線點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，代入到拋物線的方程和橢圓的方程消去y得到的關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式即可求得的代數(shù)式，把結(jié)果代入到要求的式子里結(jié)合該式子的特點(diǎn)整理即可求出上式的取值范圍。