Question

14．已知函數(shù)f（x）=cosx，x∈（$\frac{π}{2}$，3π），若方程f（x）=m有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且三個(gè)根α，β，γ（按從小到大排列）滿足β²=αγ，則實(shí)數(shù)m的值可能是-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 可設(shè)其三個(gè)根從小到大依次為α，β，γ，由題意得α+β=2π，β+γ=4π；又α，β，γ成等比數(shù)列，可設(shè)其公比為q，由①②可解得q的值，從而可求得α、β、γ的值，繼而可求得m的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=cosx，x∈（$\frac{π}{2}$，3π）的圖象如圖所示：
若方程f（x）=m有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根α，β，γ，
即y=f（x）的圖象和直線y=m有三個(gè)交點(diǎn)，
且三角交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為α，β，γ．
再根據(jù)三個(gè)根α，β，γ（按從小到大排列）滿足β²=αγ，
可得α+β=2π，β+γ=4π，且α=$\frac{β}{q}$，γ=βq．
求得q=2，β=$\frac{4π}{3}$，α=$\frac{2π}{3}$，γ=$\frac{8π}{3}$，
則實(shí)數(shù)m=cos$\frac{2π}{3}$=-$\frac{1}{2}$，
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，難點(diǎn)在于α+β=2π，β+γ=4π 的理解，考查了數(shù)形結(jié)合思想與方程思想，屬中檔題．