Question

5．已知：定義在R上的函數(shù)f（x），對于任意實數(shù)x、y都滿足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）≠0，當(dāng)x＞0時，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）證明f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（3）求不等式f（x²-x）＜$\frac{1}{f（6-4x）}$中x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=1，y=0，得出f（1）=f（1）•f（0 ），再結(jié)合當(dāng)x＞0時，f（x）＞1．得出f（0）=1；
（2）設(shè)x₁＜x₂，由已知得出f（x₂）=f（x₁+（x₂-x₁））=f（x₁）f（x₂-x₁）＞f（x₁），即可判斷出函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
 （3）由（2），不等式化為x²-x＜4x-6，解不等式即可．

解答 解：（1）令x=1，y=0則f（1）=f（1+0）=f（1）f（0），
∵f（1）≠0，
∴f（0）=1；
（2）證明：當(dāng)x＜0時-x＞0，
由f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1，f（-x）＞0得f（x）＞0，
∴對于任意實數(shù)x，f（x）＞0，
設(shè)x₁＜x₂則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞1，
∵f（x₂）=f（x₁+（x₂-x₁））=f（x₁）f（x₂-x₁）＞f（x₁），
∴函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，；
（3）∵$\frac{1}{f（6-4x）}$=$\frac{f（0）}{f（6-4x）}$=f（4x-6）
∴f（x²-x）＜f（4x-6），
由（2）可得：x²-x＜4x-6，解得2＜x＜3，
所以原不等式的解集是（2，3）．

點評 本題考查抽象函數(shù)求函數(shù)值、單調(diào)性的判定、及單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化、牢牢把握所給的關(guān)系式，對式子中的字母準(zhǔn)確靈活的賦值，變形構(gòu)造是解決抽象函數(shù)問題常用的思路．