Question

12．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-（a-1）x-a1nx．
（l）討論f（x）的單調性；
（2）設a＜0，若對任意x₁、x₂∈（0，+∞），（x₁≠x₂），|f（x₁）-f（x₂）|＞4|x₁-x₂|，求實數a的取值范圍；
（3）設g（x）=f（x）+（a-1）x，A（x₁，g（x₁）），B（x₂，g（x₂））為g（x）圖象上任意兩點，x₀=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，AB的斜率為k，g′（x）為g（x）的導函數，當a＞0時，求證：g′（x₀）＞k．

Answer 1

分析 （1）求出導數，對a討論，當a≤0時，當a＞0時，由導數大于0，得增區(qū)間，由導數小于0，得減區(qū)間；
（2）由條件結合（1），可得F（x）=f（x）-4x在（0，+∞）遞增，由F（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-（a+3）x-a1nx，
F′（x）=x-（a+3）-$\frac{a}{x}$≥0對x∈（0，+∞）恒成立，運用參數分離，求得右邊函數的最小值即可；
（3）求出g（x）的導數，運用兩點的斜率公式和作差法可得g′（x₀）-k═$\frac{a}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2•$\frac{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$），
令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，t＞1，h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，運用導數判斷單調性，即可得證．

解答 （1）解：f′（x）=x-（a-1）-$\frac{a}{x}$=$\frac{（x-a）（x+1）}{x}$（x＞0），
當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增；
當a＞0時，f′（x）＞0，解得x＞a，f′（x）＜0，解得0＜x＜a，
即有f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，
綜上可得，當a≤0時，f（x）在（0，+∞）遞增；
當a＞0時，f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增；
（2）解：a＜0時，f（x）在（0，+∞）遞增，
設0＜x₁＜x₂，則f（x₁）＜f（x₂），
|f（x₁）-f（x₂）|＞4|x₁-x₂|?f（x₂）-f（x₁）＞4（x₂-x₁）
?f（x₂）-4x₂＞f（x₁）-4x₁，
設F（x）=f（x）-4x，則F（x）在（0，+∞）遞增，
由F（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-（a+3）x-a1nx，
F′（x）=x-（a+3）-$\frac{a}{x}$≥0對x∈（0，+∞）恒成立，即為
a≤$\frac{{x}^{2}-3x}{x+1}$對x∈（0，+∞）恒成立．
令t=x+1，t＞1，y=$\frac{{t}^{2}-5t+4}{t}$=t+$\frac{4}{t}$-5≥2$\sqrt{t•\frac{4}{t}}$-5=-1，
當且僅當t=2即x=1時，取得等號，
則x=1，y取最小值-1．
即有a≤-1；
（3）證明：g（x）=f（x）+（a-1）x=$\frac{1}{2}{x^2}$-a1nx（x＞0），
g′（x）=x-$\frac{a}{x}$，
設0＜x₁＜x₂，則k=$\frac{\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}-aln{x}_{1}-\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}+aln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）-$\frac{a（ln{x}_{1}-ln{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
g′（x₀）=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-$\frac{2a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
g′（x₀）-k=$\frac{a（ln{x}_{1}-ln{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$-$\frac{2a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{a}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（lnx₂-lnx₁-$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{2}+{x}_{1}}$）
=$\frac{a}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2•$\frac{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$），
令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，t＞1，h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
h′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{（t+1）^{2}}$=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
h（t）在（1，+∞）遞增，t＞1，則h（t）＞h（1）=0，
即有l(wèi)n$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-2•$\frac{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$＞0，又$\frac{a}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞0，
則有g′（x₀）-k＞0，即g′（x₀）＞k．

點評 本題考查導數的運用：求單調區(qū)間和極值、最值，主要考查函數的單調性的運用，運用參數分離和構造函數，運用導數判斷單調性是解題的關鍵．