Question

6．若方程a^|x|=log₂（x+2）+1有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1]．

Answer 1

分析 先將方程兩邊看成兩個(gè)函數(shù)，再通過(guò)分類(lèi)討論并結(jié)合函數(shù)圖象確定參數(shù)a的取值范圍．

解答 解：設(shè)y₁=a^|x|，y₂=log₂（x+2）+1，
對(duì)a分類(lèi)討論如下：
①當(dāng)a=1時(shí)，y₁=1為常數(shù)函數(shù)，
與函數(shù)y₂的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意；
②當(dāng)a＞1時(shí)，y₁為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
且x＜0時(shí)，函數(shù)y₁遞減，x＞0時(shí)，函數(shù)y₁遞增，
因此，函數(shù)y₁與y₂的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)；
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y₁為偶函數(shù)，如右圖，
且x＜0時(shí)，函數(shù)y₁遞增，x＞0時(shí)，函數(shù)y₁遞減，
因此，函數(shù)y₁與y₂的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；
綜合以上討論得，a∈（0，1]．
故答案為：（0，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及根的存在和個(gè)數(shù)的判斷，體現(xiàn)了分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于中檔題．