Question

17．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=-1，a_n+1=S_n•S_n+1，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以-1為首項(xiàng)，以-1為公差的等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式后，利用a_n=S_n-S_n-1求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：由a_n+1=S_n•S_n+1，得：
S_n+1-S_n=S_n•S_n+1，
即$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}=-1$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以-1為首項(xiàng)，以-1為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{1}{{S}_{n}}=-1-（n-1）=-n$，∴${S}_{n}=-\frac{1}{n}$．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}=\frac{1}{n（n-1）}$．
n=1時(shí)上式不成立，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．