Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2，-1），$\overrightarrow$=（1，x）．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），求|$\overrightarrow$|的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$=（4，-7），求向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的大小．

Answer 1

分析 （I）由向量的加法和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，可得x=7，再由向量的模的公式計(jì)算即可得到所求；
（II）運(yùn)用向量的加法運(yùn)算，可得x=-3，再由向量的夾角公式cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$，計(jì)算即可得到所求夾角．

解答 解：（I）依題意可得，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=（3，-1+x），
由$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），可得，$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=0，
即6+1-x=0，
解得x=7，即$\overrightarrow$=（1，7），
所以$|b|=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$；
（II）依題意$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$=（4，2x-1）=（4，-7），
可得x=-3，即$\overrightarrow$=（1，-3），$\frac{2+3}{\sqrt{5}•\sqrt{10}}$
所以cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{2+3}{\sqrt{5}•\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
因?yàn)椋?\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞∈[0，π]，
所以$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角大小是$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，主要考查向量的模的求法和夾角的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．