Question

【題目】如圖，已知直線與拋物線（）交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，.

（1）求直線的方程和拋物線的方程；

（2）若拋物線上一動(dòng)點(diǎn)從到運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與、重合），求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）.

【解析】

1）設(shè)，，將直線方程代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算和點(diǎn)滿足拋物線的方程，解方程可得，，即可得到所求直線和拋物線的方程；
（2）由直線和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，可得，設(shè)　運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，配方，由二次函數(shù)的最值求法，可得距離的最大值，進(jìn)而得到面積的最大值.

（1）設(shè)，，

由得，由題意，，，

，即有，

則，所以，

由，得，

即，故，.

所以，直線的方程為，拋物線的方程為；

（2）由得，，，

所以

，

設(shè)，（），

因?yàn)?/span>為定值，所以當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，的面積取最大值.

，

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，.

所以，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，的面積取最大值，

且.