Question

12．已知函數(shù)f（x）=3x²+2ax-a²，其中a∈（0，3]，f（x）≤0對任意的x∈[-1，1]都成立，在1和a兩數(shù)間插入2015個數(shù)，使之與1，a構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)插入的這2015個數(shù)的乘積為T，則T=（　　）

• A． 2²⁰¹⁵
• B． 3²⁰¹⁵
• C． ${3}^{\frac{2015}{2}}$
• D． ${2}^{\frac{2015}{2}}$

Answer 1

分析 由f（x）≤0對任意的x∈[-1，1]都成立，可得f（x）在x∈[-1，1]上的最大值小于等于0恒成立，得到a的值，再由在1和a兩數(shù)間插入2015個數(shù)，使之與1，a構(gòu)成等比數(shù)列求得等比數(shù)列的公比，結(jié)合指數(shù)式的運算性質(zhì)求得T．

解答 解：由f（x）=3x²+2ax-a²=$3（x+\frac{a}{3}）^{2}-\frac{4{a}^{2}}{3}$，
∵a∈（0，3]，
∴$-\frac{a}{3}∈[-1，0）$，
則f（x）在x∈[-1，1]上的最大值為f（1）=-a²+2a+3．
由f（x）≤0對任意的x∈[-1，1]都成立，
得-a²+2a+3≤0，解得a≤-1或a≥3．
∴a=3．
在1和a兩數(shù)間插入2015個數(shù)，使之與1，a構(gòu)成等比數(shù)列，
即在1和3兩數(shù)間插入2015個數(shù)，使之與1，3構(gòu)成等比數(shù)列，
設(shè)所得等比數(shù)列的公比為q，
則${a}_{2017}={a}_{1}{q}^{2016}$，即q²⁰¹⁶=3．
∴T=q•q²•q³…q²⁰¹⁵=q^1+2+…+2015=${q}^{\frac{2016×2015}{2}}$=${3}^{\frac{2015}{2}}$．
故選：C．

點評 本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，訓練了恒成立問題的求解方法，考查了等比數(shù)列的通項公式與等差數(shù)列的前n項和，是中檔題．