Question

已知集合M_D是滿足下列性質函數f（x）的全體，若函數f（x）定義域為D，對任意的x₁，x₂∈D，有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．
（1）當D=（0，+∞）時，f（x）=lnx是否屬于M_D，若屬于M_D，給予證明，否則說明理由；
（2）當D=（0，

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），函數f（x）=x³+ax+b時，且f（x）∈M_D，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：函數的性質及應用

分析：（1）顯然函數f（x）=lnx，在定義域內處處可導，則由切線的性質可知，連接該函數定義域內任意兩點的割線，總能在定義域內找到一條切線與之平行，則割線的斜率就是切線的斜率，即該切點處的導數，則要判斷該函數是否屬于M_D，由|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|可知

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

＜1，所以只需判定其導數在（0，+∞）內是否小于1恒成立即可；
（2）結合（1）的分析，只需令其導函數|f′（x）|＜1在(0，

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)內恒成立即可．

解答： 解：（1）∵對任意的x₁，x₂∈D，有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|，即

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

＜1，即連接函數圖象上任意兩點的割線斜率絕對值小于1恒成立．
又因為函數f（x）=lnx，在定義域內處處可導，則由切線的性質可知，連接該函數定義域內任意兩點的割線，總能在定義域內找到一條切線與之平行，則割線的斜率就是切線的斜率，即該切點處的導數．所以只需|f′（x）|＜1，D=（0，+∞）時恒成立即可．
易知f′（x）=

1

x

，當x∈（0，1）時，f′（x）＞1，即|f′（x）|＞1，所以不恒成立，因此f（x）=lnx在定義域內不屬于M_D．
（2）顯然，該函數在定義域內處處可導，結合（1）的分析，要使f（x）=x³+ax+b，D=（0，

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），屬于M_D，
只需|f′（x）|＜1，即-1＜f′（x）＜1，在區(qū)間（0，

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）上恒成立即可．
因為f′（x）=3x²+a，在x∈（0，

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）時單調遞增，
所以只需f′（-1）≥-1，且f′（1）≤1
解得-1≤a≤0．

點評：本題考查了對函數的割線與切線關系的理解，以及導數的幾何意義，不等式恒成立問題的處理方法，要注意端點處的取值情況判斷．