Question

5．判斷函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{4}{x}$+3的單調(diào)性．

Answer 1

分析 根據(jù)單調(diào)性的定義，設任意的x₁＜x₂，且x₁≠0，x₂≠0，然后作差，通分，提取公因式，從而可以得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{2}-{x}_{1}）•\frac{\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}+4}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$，這樣便可判斷出當${x}_{1}，{x}_{2}∈（-∞，-\frac{1}{2}]$，或（0，+∞）時，便有f（x₁）＞f（x₂），而當${x}_{1}，{x}_{2}∈（-\frac{1}{2}，0）$時，便有f（x₁）＜f（x₂），這樣便可得出f（x）的單調(diào)性．

解答 解：設x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}+\frac{4}{{x}_{1}}-\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}-\frac{4}{{x}_{2}}$
=$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}+\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$（{x}_{2}-{x}_{1}）•\frac{\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}+4}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$；
∵x₁＜x₂；
∴x₂-x₁＞0，${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}＞0$；
①當${x}_{1}，{x}_{2}∈（-∞，-\frac{1}{2}]$或（0，+∞）時，$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}+4＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$]，（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②當${x}_{1}，{x}_{2}∈（-\frac{1}{2}，0）$時，$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}+4＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在$（-\frac{1}{2}，0）$上單調(diào)遞增．

點評 考查函數(shù)單調(diào)性的定義，以及根據(jù)單調(diào)性定義判斷一個函數(shù)的單調(diào)性的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₂-x₁，判斷單調(diào)性時要注意函數(shù)的定義域．