Question

19．已知某種商品每日的銷售量y（單位：噸）與銷售價格x（單位：萬元/噸，1＜x≤5）滿足：當1＜x≤3時，y=a（x-4）²+$\frac{6}{x-1}$（a為常數）；當3＜x≤5時，y=kx+7，已知當銷售價格為3萬元/噸時，每日可售出商品該4噸，當銷售價格為5萬元/噸時，每日可售出商品該2噸．
（1）求a，k的值，并確定y關于x的函數解析式；
（2）若該商品的銷售成本為1萬元/噸，試確定銷售價格x的值，使得每日銷售該商品所獲利潤最大．

Answer 1

分析 （1）通過x=3時，y=4；求出a，x=5時，y=5；求出k，得到函數的解析式．
（2）當1＜x≤3時，求出每日銷售利潤的表達式，通過函數的導數判斷函數的單調性，求出最大值．當3＜x≤5時，求出每日銷售利潤的表達式，利用二次函數的最值求解最大值，推出結果．

解答 解：（1）因為x=3時，y=4；所以a+3=4，得a=1…（2分）
因為x=5時，y=5；所以5k+7=2，得k=-1…（4分）
故$y=\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{{{（x-4）}^2}+\frac{6}{x-1}}&{1＜x≤3}\end{array}\\-x+7\begin{array}{l}{\;}&{\;}&{\;}&{3＜x≤5}\end{array}\end{array}\right.$…（5分）
（2）由（1）知，當1＜x≤3時，
每日銷售利潤$f（x）=[{（x-4）^2}+\frac{6}{x-1}]（x-1）$=x³-9x²+24x-10（1＜x≤3）…（6分）
f′（x）=3x²-18x+24．                                     …（7分）
令 f′（x）=3x²-18x+24＞0，解得x＞4或x＜2
所以f（x）在[1，2]單調遞增，在[2，3]單調遞減       …（8分）
所以當x=2，f（x）_max=f（2）=10，…（9分）
當3＜x≤5時，每日銷售利潤f（x）=（-x+7）（x-1）=-x²+8x-7=-（x-4）²+9…（10分）
f（x）在x=4時有最大值，且f（x）_max=f（4）=9＜f（2）…（11分）
綜上，銷售價格x=2萬元/噸時，每日銷售該商品所獲利潤最大．               …（12分）

點評 本題考查函數的解析式的求法，函數的導數的應用，考查分析問題解決問題的能力，分類討論思想以及轉化思想的應用．