Question

2．若直線mx-y+$\frac{n}{2}$-1=0（m＞0，n＞0）經(jīng)過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值為（　�。�

• A． 3+2$\sqrt{2}$
• B． 3+$\sqrt{2}$
• C． $\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{3+\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由拋物線y²=4x，可得焦點(diǎn)F（1，0），代入直線方程mx-y+$\frac{n}{2}$-1=0，可得：m+$\frac{n}{2}$=1．再利用“乘1法”與基本不等式即可得出最小值．

解答 解：由拋物線y²=4x，可得焦點(diǎn)F（1，0），
代入直線方程mx-y+$\frac{n}{2}$-1=0，
可得：m+$\frac{n}{2}$=1．
又m＞0，n＞0，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=（m+$\frac{n}{2}$）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=$\frac{3}{2}$+$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{2m}$
≥$\frac{3}{2}$+2$\sqrt{\frac{m}{n}•\frac{n}{2m}}$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)n=$\sqrt{2}$m=2$\sqrt{2}$-2，取等號．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值是$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的性質(zhì)、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題和易錯(cuò)題．