Question

12．已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=$\frac{π}{2}$，DC=2AB=2BC=2$\sqrt{2}$，以直線AD為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到如圖所示的幾何體σ．
（1）求幾何體σ的表面積；
（2）點M時幾何體σ的表面上的動點，當(dāng)四面體MABD的體積為$\frac{1}{3}$，試判斷M點的軌跡是否為2個菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意知該旋轉(zhuǎn)體下半部分是一個圓錐，上半部分是一個圓臺中間挖空一個圓錐而剩下的幾何體，求出它的表面積即可；
（2）求出S_△ABD，得出M點到平面ABCD的距離為1，由空間中到平面ABCD的距離為1的平面與幾何體σ的表面的交線構(gòu)成曲邊四邊形，得出結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得；
該旋轉(zhuǎn)體的下半部分是一個圓錐，
上半部分是一個圓臺中間挖空一個圓錐而剩下的幾何體，
其表面積為S=$\frac{1}{2}$×4π×2$\sqrt{2}$×2=8$\sqrt{2}$π，
或S=$\frac{1}{2}$×4π×2$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×（4π×2$\sqrt{2}$-2π×$\sqrt{2}$）+$\frac{1}{2}$×2π×$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$π；
（2）由已知S_△ABD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×2×sin135°=1，
因而要使四面體MABD的體積為$\frac{1}{3}$，只要M點到平面ABCD的距離為1，
因為在空間中有兩個平面到平面ABCD的距離為1，
它們與幾何體σ的表面的交線構(gòu)成2個曲邊四邊形，不是2個菱形．

點評 本題考查了空間幾何體的表面積與體積的計算問題，也考查了空間想象能力的應(yīng)用問題，是綜合性題目．