Question

14．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且$|{QF}|=\frac{5}{4}|{PQ}|$．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過M（4，0）的直線l與C相交于A，B兩點，若$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}$，求直線l的方程﹒

Answer 1

分析 （Ⅰ）設Q（x₀，4），代入拋物線方程，結(jié)合拋物線的定義，可得p=2，進而得到拋物線方程；
（Ⅱ）設A，B的坐標，運用向量共線的坐標表示，設直線l的方程：x=my+4，與拋物線方程聯(lián)立，消去x，運用韋達定理，聯(lián)立方程即可解得m，進而得到直線方程．

解答 解：（Ⅰ）設Q（x₀，4），代入由y²=2px（p＞0）中得x₀=$\frac{8}{p}$，
所以$|{PQ}|=\frac{8}{p}，|{QF}|=\frac{p}{2}+{x_0}=\frac{p}{2}+\frac{8}{p}$，
由題設得$\frac{p}{2}+\frac{8}{p}=\frac{5}{4}×\frac{8}{p}$，解得p=-2（舍去）或p=2．
所以C的方程為y²=4x．
（Ⅱ）設$A（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}）$，$B（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$
由$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MB}$，得$（4-\frac{{{y_1}^2}}{4}，-{y_1}）=\frac{1}{2}（-4+\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$，
所以${y_1}=-\frac{y_2}{2}$，①
設直線l的方程：x=my+4，與拋物線方程聯(lián)立，
由$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{x=my+4}\end{array}}\right.$，消去x得y²-4my-16=0，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}{y_2}=-16}\\{{y_1}+{y_2}=4m}\end{array}}\right.$②
由①②聯(lián)立，解得${y_1}=-2\sqrt{2}$，${y_2}=4\sqrt{2}$，$m=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$﹒
或${y_1}=2\sqrt{2}$，${y_2}=-4\sqrt{2}$，$m=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故所求直線l的方程為$2x-\sqrt{2}y-8=0$或$2x+\sqrt{2}y-8=0$﹒

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運用韋達定理，同時考查向量共線的坐標表示，具有一定的運算量，屬于中檔題．