Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{3}x|，0＜x＜3}\\{sin（\frac{π}{2}x-π），3≤x≤7}\end{array}\right.$，若存在實數(shù)a，b，c，d，滿足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中0＜a＜b＜c＜d，則a+b+c+d的取值范圍是（12，$\frac{40}{3}$）．

Answer 1

分析 先畫出函數(shù)f（x）的圖象，再根據(jù)條件利用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)以及三角函數(shù)的對稱性，利用數(shù)形結(jié)合，即可求出其范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：
若a、b、c、d互不相同，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），
∵a＜b＜c＜d，
∴0＜a＜1，1＜b＜3，
則由f（a）=f（b）得log₃a=-log₃b，即log₃a+log₃b=log₃ab=0
則ab=1，
由|log₃a|=1得log₃a=-1，則a=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{3}$＜a＜1，
同時c∈（3，4），d∈（6，7），
∵c，d關(guān)于x=5對稱，∴$\frac{c+d}{2}$=5，
則c+d=10，則10=c+d則a+b+c+d=a+b+10=a+$\frac{1}{a}$+10，
∵a+$\frac{1}{a}$在$\frac{1}{3}$＜a＜1上為減函數(shù)，
∴2＜a+$\frac{1}{a}$＜$\frac{10}{3}$，
則12＜a+$\frac{1}{a}$+10＜$\frac{40}{3}$，
即a+b+c+d的取值范圍是（12，$\frac{40}{3}$），
故答案為：（12，$\frac{40}{3}$）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，由題意正確畫出圖象和熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．利用對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)以及三角函數(shù)的對稱性進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．