Question

17．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足a₁=22，a_n+1（a_n+1-2n）=a_n（a_n+2n），則當(dāng)$\frac{{a}_{n}}{n}$取得最小值時，n=5．

Answer 1

分析 化簡可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2n）=0，從而可得a_n+1-a_n-2n=0，再利用累加法求得a_n=n（n-1）+22，從而結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 解：∵a_n+1（a_n+1-2n）=a_n（a_n+2n），
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2n）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-2n=0，
∴a₂-a₁=2，a₃-a₂=4，a₄-a₃=6，…，a_n-a_n-1=2（n-1），
累加可得，
a_n-a₁=2+4+6+…+2（n-1）=n（n-1），
故a_n=n（n-1）+22，
故$\frac{{a}_{n}}{n}$=n-1+$\frac{22}{n}$=$\frac{22}{n}$+n-1，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，
當(dāng)n=4時，$\frac{22}{4}$+4-1=$\frac{17}{2}$=8.5，
當(dāng)n=5時，$\frac{22}{5}$+5-1=$\frac{42}{5}$=8.4；
故答案為：5．

點(diǎn)評 本題考查了方程思想與函數(shù)思想的應(yīng)用，同時考查了累加法的應(yīng)用，屬于中檔題．