Question

5．已知偶函數(shù)f（x）滿足，f（x+1）=-f（x）且當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=x²，若在區(qū)間[-1，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-log_a（x+2）有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[5，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x+1）=-f（x），可得f（x）是周期為2的周期函數(shù)． 再由f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=x²，可得函數(shù)在[-1，3]上的解析式．根據(jù)題意可得函數(shù)y=f（x）的圖象與y=log_a（x+2）有4個(gè)交點(diǎn)，即可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），
故有f（x+2）=f（x），
故f（x）是周期為2的周期函數(shù)．
再由f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=x²，
可得當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x²，
故當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x² ，
當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x）=（x-2）²．
由于函數(shù)g（x）=f（x）-log_a（x+2）有4個(gè)零點(diǎn)，
故函數(shù)y=f（x）的圖象與y=log_a（x+2）有4個(gè)交點(diǎn)，
所以可得1≥log_a（3+2），
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[5，+∞）．
故答案為：[5，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的周期性的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．