【題目】已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)的最大值為.

(1)求實(shí)數(shù)的值;

(2)若,證明:.

【答案】(1);(2)見解析

【解析】

1)先對(duì)求導(dǎo),然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)形式對(duì)進(jìn)行分類討論,通過導(dǎo)函數(shù)最大值為0,求得的值.

2)要證,則需證,再利用的單調(diào)性,證,利用條件把換掉,構(gòu)造函數(shù)

證明,對(duì)求導(dǎo),研究其單調(diào)性和極值,得到結(jié)論.

(1)由題意,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,其導(dǎo)函數(shù)

.

當(dāng)時(shí),恒成立,所以上單調(diào)遞增,且.

所以,有,故時(shí)不成立;

當(dāng)時(shí),若,則;若,則.

所以單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減。

所以.

,則.

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以的單減,在單增.

所以,故.

(2)當(dāng)時(shí),,則.

由(1)知恒成立,

所以上單調(diào)遞減,

,

不妨設(shè),則,

欲證,只需證,因?yàn)?/span>上單調(diào)遞減,

則只需證,又因?yàn)?/span>,

則只需證,即.

(其中),且.

所以欲證,只需證,

,

整理得:,

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,

所以,

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,

所以有,,故.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某小學(xué)舉辦“父母養(yǎng)育我,我報(bào)父母恩”的活動(dòng),對(duì)六個(gè)年級(jí)(一年級(jí)到六年級(jí)的年級(jí)代碼分別為1,2…,6)的學(xué)生給父母洗腳的百分比y%進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì),繪制得到下面的散點(diǎn)圖.

(1)由散點(diǎn)圖看出,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;

(2)建立y關(guān)于x的回歸方程,并據(jù)此預(yù)計(jì)該校學(xué)生升入中學(xué)的第一年(年級(jí)代碼為7)給父母洗腳的百分比.

附注:參考數(shù)據(jù):

參考公式:相關(guān)系數(shù),若r>0.95,則y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計(jì)公式分別為 ,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義在上的函數(shù),單調(diào)遞增,,若對(duì)任意,存在,使得成立,則稱上的“追逐函數(shù)”.若,則下列四個(gè)命題:①上的“追逐函數(shù)”;②若上的“追逐函數(shù)”,則;③上的“追逐函數(shù)”;④當(dāng)時(shí),存在,使得上的“追逐函數(shù)”.其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )

A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在六面體中,平面平面,平面,,且.

(1)求證:平面

(2)求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,,,平面.

1)若的中點(diǎn),的中點(diǎn),求證:平面

2)求二面角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四邊形為正方形,分別為的中點(diǎn),以為折痕把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且.

(1)證明:平面平面;

(2)求與平面所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知?jiǎng)訄A在圓外部且與圓相切,同時(shí)還在圓內(nèi)部與圓相切.

1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程;

2)記(1)中求出的軌跡為,軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為、上異于、的動(dòng)點(diǎn),又直線軸交于點(diǎn),直線分別交直線兩點(diǎn),求證:為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某興趣小組有男生20人,女生10人,從中抽取一個(gè)容量為5的樣本,恰好抽到2名男生和3名女生,則

①該抽樣可能是系統(tǒng)抽樣;

②該抽樣可能是隨機(jī)抽樣:

③該抽樣一定不是分層抽樣;

④本次抽樣中每個(gè)人被抽到的概率都是

其中說法正確的為( )

A.①②③B.②③C.②③④D.③④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,矩形和菱形所在的平面相互垂直,,的中點(diǎn).

(1)求證:平面;

(2)若,求二面角的余弦值.

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同步練習(xí)冊答案