【題目】已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)的最大值為.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)若,證明:.
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
(1)先對(duì)求導(dǎo),然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)形式對(duì)進(jìn)行分類討論,通過導(dǎo)函數(shù)最大值為0,求得的值.
(2)要證,則需證,再利用的單調(diào)性,證,利用條件把換掉,構(gòu)造函數(shù)
證明,對(duì)求導(dǎo),研究其單調(diào)性和極值,得到結(jié)論.
(1)由題意,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,其導(dǎo)函數(shù)
記則.
當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上單調(diào)遞增,且.
所以,有,故時(shí)不成立;
當(dāng)時(shí),若,則;若,則.
所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減。
所以.
令,則.
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在的單減,在單增.
所以,故.
(2)當(dāng)時(shí),,則.
由(1)知恒成立,
所以在上單調(diào)遞減,
且,
不妨設(shè),則,
欲證,只需證,因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減,
則只需證,又因?yàn)?/span>,
則只需證,即.
令(其中),且.
所以欲證,只需證,
由,
整理得:,
,
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以,,
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,
所以有,,故.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小學(xué)舉辦“父母養(yǎng)育我,我報(bào)父母恩”的活動(dòng),對(duì)六個(gè)年級(jí)(一年級(jí)到六年級(jí)的年級(jí)代碼分別為1,2…,6)的學(xué)生給父母洗腳的百分比y%進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì),繪制得到下面的散點(diǎn)圖.
(1)由散點(diǎn)圖看出,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;
(2)建立y關(guān)于x的回歸方程,并據(jù)此預(yù)計(jì)該校學(xué)生升入中學(xué)的第一年(年級(jí)代碼為7)給父母洗腳的百分比.
附注:參考數(shù)據(jù):
參考公式:相關(guān)系數(shù),若r>0.95,則y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)高,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計(jì)公式分別為= ,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù),單調(diào)遞增,,若對(duì)任意,存在,使得成立,則稱是在上的“追逐函數(shù)”.若,則下列四個(gè)命題:①是在上的“追逐函數(shù)”;②若是在上的“追逐函數(shù)”,則;③是在上的“追逐函數(shù)”;④當(dāng)時(shí),存在,使得是在上的“追逐函數(shù)”.其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )
A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形為正方形,分別為的中點(diǎn),以為折痕把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且.
(1)證明:平面平面;
(2)求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)訄A在圓:外部且與圓相切,同時(shí)還在圓:內(nèi)部與圓相切.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程;
(2)記(1)中求出的軌跡為,與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為、,是上異于、的動(dòng)點(diǎn),又直線與軸交于點(diǎn),直線、分別交直線于、兩點(diǎn),求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某興趣小組有男生20人,女生10人,從中抽取一個(gè)容量為5的樣本,恰好抽到2名男生和3名女生,則
①該抽樣可能是系統(tǒng)抽樣;
②該抽樣可能是隨機(jī)抽樣:
③該抽樣一定不是分層抽樣;
④本次抽樣中每個(gè)人被抽到的概率都是.
其中說法正確的為( )
A.①②③B.②③C.②③④D.③④
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